Metody numeryczne i błędy obliczeń

Algorytmy numeryczne wyznaczają przybliżenia. Każda metoda ma warunki stosowania, a wyniki trzeba ocenić pod względem błędu. Wzory akademickie oznaczono literą S.

W zakresie podstawowym nie ma wzorów z tego działu: wszystkie są z rozszerzenia.

W tym dziale nie ma wzorów z zakresu podstawowego

Wszystkie wzory działu należą do rozszerzenia albo są spoza podstawy programowej.

Bisekcja

środek przedziału w bisekcji: $x_{m} = \frac{a + b}{2}$; zakres rozszerzony, wzór kluczowy; gdzie:
$x_{m}$ środek przedziału
$a, b$ końce przedziału (a < b)
Strona wzoru: jednostki

Błędy obliczeń

błąd bezwzględny przybliżenia: $ε = ∣ x - x_{0} ∣$; zakres rozszerzony; gdzie:
$ε$ błąd bezwzględny
$x, x_{0}$ argument lub jego wartość odniesienia, zależnie od wzoru
Strona wzoru
błąd względny przybliżenia: $ε_{r} = \frac{ε}{∣ x _{0} ∣}$; zakres rozszerzony; gdzie:
$ε_{r}$ błąd względny
$ε$ błąd bezwzględny
$x_{0}$ argument lub jego wartość odniesienia, zależnie od wzoru
Strona wzoru: jednostki

336×280Tu może być Twoja reklama

Metody na studiach

krok metody Newtona: $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{y _{n}}{d _{n}}$; studia (I–II rok); gdzie:
$x_{n + 1}, x_{n}$ bieżące i następne przybliżenie pierwiastka
$y_{n}$ wartość funkcji f w punkcie x_n
$d_{n}$ wartość pochodnej f′ w punkcie x_n, różna od zera
Strona wzoru: jednostki
interpolacja liniowa: $y = y_{0} + \frac{x - x _{0}}{x _{1} - x _{0}} (y_{1} - y_{0})$; studia (I–II rok); gdzie:
$y, y_{0}, y_{1}$ wartości interpolowanej prostej w odpowiednich punktach
$x, x_{0}, x_{1}$ argument lub jego wartość odniesienia, zależnie od wzoru
Strona wzoru: jednostki
prosta reguła trapezów: $I_{T} = \frac{b - a}{2} (y_{a} + y_{b})$; studia (I–II rok); gdzie:
$I_{T}$ przybliżenia całki regułą trapezów i Simpsona
$b, a$ końce przedziału (a < b)
$y_{a}, y_{b}$ wartości funkcji na końcach i w środku przedziału
Strona wzoru: jednostki
prosta reguła Simpsona: $I_{S} = \frac{b - a}{6} (y_{a} + 4 y_{m} + y_{b})$; studia (I–II rok); gdzie:
$I_{S}$ przybliżenia całki regułą trapezów i Simpsona
$b, a$ końce przedziału (a < b)
$y_{a}, y_{m}, y_{b}$ wartości funkcji na końcach i w środku przedziału
Strona wzoru: jednostki

Prawa i uwagi

Warunki bisekcji

Dla ciągłej funkcji f na [a,b], a < b, ze zmianą znaku f(a)f(b) < 0, środek przedziału dzieli go na dwie połowy. Jeśli f(xₘ) = 0, znaleziono pierwiastek; w przeciwnym razie zachowujemy połowę ze zmianą znaku. Po n podziałach szerokość przedziału wynosi (b − a)/2ⁿ, a błąd jego środka nie przekracza (b − a)/2ⁿ⁺¹.

Błąd przybliżenia

x jest przybliżeniem, x₀ wartością odniesienia. Błąd względny jest zdefiniowany tylko dla x₀ ≠ 0; w procentach wynosi 100% · εᵣ. To błąd względem wartości odniesienia, a nie automatycznie niepewność pomiarowa.

Iteracja Newtona

W tym wzorze yₙ = f(xₙ), dₙ = f′(xₙ) ≠ 0. Funkcja musi być różniczkowalna w punktach iteracji. Zbieżność zależy od funkcji i punktu startowego; metoda nie gwarantuje znalezienia pierwiastka dla dowolnego startu.

Dwa punkty interpolacji

Punkty (x₀,y₀), (x₁,y₁) muszą mieć różne odcięte. Dla x między x₀ i x₁ jest to interpolacja, poza tym przedziałem — ekstrapolacja. Wartość y jest wartością prostej łączącej dane punkty; może różnić się od wartości interpolowanej funkcji.

Kwadratury proste

yₐ = f(a), yᵦ = f(b), yₘ = f((a+b)/2), a < b. I_T i I_S są przybliżeniami całki z f po [a,b], a nie jej dokładną wartością dla dowolnej funkcji. Reguła trapezów jest dokładna dla wielomianów stopnia najwyżej 1, a Simpsona najwyżej 3. Stosujemy jeden przedział; reguły złożone wymagają sumowania po podprzedziałach.

Symbole i jednostki

symbol	znaczenie	jednostka SI	nazwa
$a, b$	końce przedziału (a < b)	$-$	bez jednostki
$x_{m}$	środek przedziału	$-$	bez jednostki
$x, x_{0}, x_{1}$	argument lub jego wartość odniesienia, zależnie od wzoru	$-$	bez jednostki
$y, y_{0}, y_{1}$	wartości interpolowanej prostej w odpowiednich punktach	$-$	bez jednostki
$ε$	błąd bezwzględny	$-$	bez jednostki
$ε_{r}$	błąd względny	$-$	bez jednostki
$x_{n}, x_{n + 1}$	bieżące i następne przybliżenie pierwiastka	$-$	bez jednostki
$y_{n}$	wartość funkcji f w punkcie x_n	$-$	bez jednostki
$d_{n}$	wartość pochodnej f′ w punkcie x_n, różna od zera	$-$	bez jednostki
$y_{a}, y_{b}, y_{m}$	wartości funkcji na końcach i w środku przedziału	$-$	bez jednostki
$I_{T}, I_{S}$	przybliżenia całki regułą trapezów i Simpsona	$-$	bez jednostki
$n$	numer iteracji (liczba całkowita)	$-$	bez jednostki

Oznaczenia

zakres rozszerzony: zakres rozszerzony podstawy programowej informatyki
studia (I–II rok): wzór z pierwszych dwóch lat studiów technicznych, poza programem szkoły
wzór kluczowy: najczęściej potrzebny na sprawdzianach i maturze; zakreślony na ekranie, z gwiazdką na wydruku

Zakres wynika z wymagań podstawy programowej; numery wymagań są na stronie każdego wzoru.

728×280Tu może być Twoja reklama